Exercices Corrigés Échantillonnage et Estimation FSJES S3

200*90

EXERCICE 1

Dans la fabrication de comprimés effervescents, il est prévu que chaque comprimé doit contenir 1625 mg de bicarbonate de sodium. Afin de contrôler la fabrication de ces médicaments, on a prélevé un échantillon de 150 comprimés et on a mesuré la quantité de bicarbonate de sodium pour chacun d’eux. Les résultats obtenus sont résumés dans le tableau suivant:

1) En convenant que les valeurs mesurées sont regroupées au centre de chaque classe, calculer une valeur approchée à 10-2 près de la moyenne m et de l’écart type s de cet échantillon.

2) A partir des résultats obtenus pour cet échantillon, assimilé à un échantillon non exhaustif, donner les estimations ponctuelles et de la moyenne M et de l’écart type de la quantité de bicarbonate de sodium dans la population (formée de l’ensemble de tous les comprimés fabriqués et supposée très grande).

Dans la question suivante on prendra pour valeur de son estimation .

3) On appelle la variable aléatoire qui, à tout échantillon de taille n = 150 associe la quantité moyenne de bicarbonate de sodium de cet échantillon.

a) peut-elle être approchée par une loi classique ? Si oui, laquelle ? Donner ses paramètres?

b) Déterminer un intervalle de confiance de la quantité moyenne de bicarbonate de sodium dans la population avec le coefficient de confiance 95 %

Calculer l’amplitude de cet intervalle.

CORRECTION

1°) Notons et respectivement la moyenne et l’écart-type de l’échantillon. Un calcul à la machine donne :

2°) On sait que l’estimation ponctuelle de la moyenne m de la quantité de bicarbonate de sodium dans la population des comprimés est donnée par la moyenne de l’échantillon. Donc :

On sait aussi qu’une estimation ponctuelle de l’écart-type de la quantité de bicarbonate de sodium dans la population des comprimés est donnée à partir de l’écart-type de l’échantillon à l’aide de la formule où n représente l’effectif de l’échantillon, c’est-à-dire ici ( on obtient directement le résultat numérique avec la touche de la calculatrice).Donc , soit

3)

a) D’après le théorème de la limite centrée, on sait que la loi de peut être approchée par une loi normale de moyenne et d’écart-type .

b) On sait alors qu’un intervalle de confiance au seuil de 5% de la moyenne m est :

Numériquement : , soit

L’amplitude de cet intervalle est 1626,22-1624,72 = 1,5 mg.

EXERCICE 2

Première partie.

Dans un laboratoire on mesure le coefficient X d’amplification d’un préamplificateur. On a relevé les douze mesures suivantes pour X :

1°) Déterminer à la calculatrice une valeur approchée à près de la moyenne et de l’écart-type de cette série de mesures.

2°) On suppose que les 12 mesures précédentes sont les réalisations de 12 variables aléatoires indépendantes et de même loi : la loi normale de moyenne , appelée coefficient d’amplification moyen, et d’écart-type .

a) Donner, à partir de ces mesures une estimation du coefficient d’amplification moyen.

b) On suppose que . Donner un intervalle de confiance au risque de 5¨% pour ce coefficient.

Deuxième partie.

On note Y la variable aléatoire prenant pour valeurs les mesures du coefficient d’amplification du préamplificateur.

On admet que Y suit une loi normale de moyenne 2,54 et d’écart-type 0,05.

Un technicien mesure ce coefficient. Quelle est la probabilité pour que sa mesure soit :

1°) supérieure à 2,6 ?

2°) comprise entre 2,45 et 2,60 ?

CORRECTION

Première Partie.

1°) La calculatrice donne une valeur approchée à près de la moyenne. On trouve :

La touche de la calculatrice donne l’écart-type de l’échantillon. On trouve alors :

2°)

a) Les 12 mesures réalisées sont les réalisations de 12 variables aléatoires indépendantes de même loi. Dans ce cas, la loi faible des grands nombres dit que l’on peut approcher par la moyenne arithmétique issue d’une étude statistique. Ainsi le coefficient d’amplification moyen sera estimé par 2,541 et l’on prendra cette valeur pour :

b) On sait que au risque de 5%, l’intervalle de confiance du coefficient d’amplification moyen est donné par :

où est la moyenne déterminée sur l’échantillon. On obtient donc,

l’intervalle de confiance cherché est donc :

Deuxième partie.

1°) Si Y suit une loi normale de moyenne et d’écart-type , alors si on pose , la variable aléatoire T suit une loi normale centrée réduite N (0,1). La fonction de répartition de la loi de T est noté et est tabulée (voir formulaire). Nous avons alors :

La table donne :

2°) On utilise toujours la loi normale centrée réduite.

Soit,

finalement :

EXERC1CE 3

Étude du résultat de la pesée d’un objet de masse m (exprimée en grammes).

On admet que la variable aléatoire X qui prend comme valeurs les résultats de la pesée d’un même objet donné suit la loi normale de moyenne m et d’écart type = .

PARTIE A

Dans cette partie, on suppose que m = 72,40 et = = 0,08.

1) Calculer la probabilité des événements suivants (les résultats seront arrondis au millième le plus proche):

a) » X>72,45 « 

b)  » X <72,25 « 

c) « 72,30 < X <72,50 « .

2) Déterminer le réel strictement positif h (arrondi au centième) tel que la probabilité pour que X prenne une valeur dans l’intervalle [m - h, m + h] soit égale à 0,989.

PARTIE B

Dans cette partie, on suppose que m et = sont inconnus.

On a relevé dans le tableau suivant les résultats de 10 pesées d’un même objet:

Masse (g)

72,20

72,24

72,26

72,30

72,36

72,39

72,42

72,48

72,50

72,54

Les résultats seront arrondis au centième le plus proche.

1°) Calculer la moyenne et l’écart type de cet échantillon.

2°) En déduire des estimations ponctuelles de la moyenne m et de l’écart type a de la variable X.

3°) Dans la suite, on admet que la variable aléatoire qui à tout échantillon de 10 pesées associe la moyenne de ces pesées suit une loi normale. En prenant pour écart type la valeur estimée en 2°), donner un intervalle confiance au seuil de 5% de la moyenne m.

4°) L’écart type de l’appareil de pesée, mesuré à partir de nombreuses études antérieures, est en réalité, pour un objet ayant environ cette masse, de 0,08. Dans cette question, on prend donc = = 0,08

a) Donner un intervalle de confiance au seuil de 5% de la moyenne m.

b) Déterminer a (à l’unité près) pour que au seuil de , %, un intervalle de confiance de m soit [72,31 ; 72,43].

CORRECTION

PARTIE A

1°)

Rappelons que si X est une variable aléatoire qui suit une loi normale de moyenne m et d’écart-type , la variable aléatoire suit une loi normale centrée réduite de moyenne 0 et d’écart-type 1. On dit que T suit une loi normale q (0,1) dont la fonction de répartition est tabulée.

a)

donc

La table donne : . Une interpolation linéaire conduit à . On en déduit : .

Soit

b)

donc

La table donne : . Une interpolation linéaire conduit à . On en déduit .

Soit

c)

donc

Or donc

2°) La traduction de l’énoncé conduit à :

Soit

on obtient :

La lecture de la table donne

soit

PARTIE B

1°) Notons et respectivement la moyenne et l’écart-type de l’échantillon. Un calcul à la machine donne :

2°) On sait que l’estimation ponctuelle de la moyenne m des pesées est donnée par la moyenne de l’échantillon. Donc :

On sait aussi qu’une estimation ponctuelle de l’écart-type des pesées est donnée à partir de l’écart-type de l’échantillon à l’aide de la formule où n représente l’effectif de l’échantillon, c’est-à-dire ici ( on obtient directement le résultat numérique avec la touche de la calculatrice).Donc , soit

3) On sait qu’un intervalle de confiance au seuil de 5% de la moyenne m est :

Numériquement : , soit

4°)

a) La formule donnée à la question 3°) reste valable en remplaçantpar. On obtient , soit

b) On sait que l’intervalle de confiance de la moyenne des pesées au seuil est donné par où est tel que où T est une variable aléatoire qui suit une loi normale q (0,1). En identifiant l’intervalle de confiance théorique avec celui donné dans l’énoncé, on obtient :

On aurait obtenu le même résultat en faisant le calcul avec la borne supérieure de l’intervalle. Nous devons donc avoir :

La table donne , on en déduit . A l’unité près le risque est

336*280